DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
¿Qué es la distribución normal?
La Distribución Normal: una distribución
de una variable aleatoria continua.
Una muy importante distribución continua de probabilidad es la distribución
normal. Varios matemáticos intervinieron en su desarrollo entre ellos figura el
astrónomo del siglo XVIII Karl Gauss, a veces es llamada en sus honor la
distribución de Gauss.
Características de la distribución normal de la probabilidad.
1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. (Presenta una forma de campana).
2. La media de una población distribuida
normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.
3. A causa de la simetría de la
distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución
también se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la
mediana y la moda poseen el mismo valor.
4. Las dos colas (extremos) de una
distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca
tocan el eje horizontal.
Z= Número de desviaciones estándar de x respecto a la media de esta distribución.
Z= x-m / s
X=valor de la variable aleatoria que nos interesa.
m= media de la distribución de esta variable aleatoria.
s = desviación estándar de esta distribución.
Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medición, por lo que hablaremos de forma estándar y les daremos el símbolo de Z.
Áreas bajo la curva normal.
El área total bajo la curva normal será de 1.00 por lo cual podemos
considerar que las áreas bajo la curva son probabilidades.
El valor de Z.
Z= Número de desviaciones estándar de x respecto a la media de esta distribución.
Z= x-m / s
X=valor de la variable aleatoria que nos interesa.
m= media de la distribución de esta variable aleatoria.
s = desviación estándar de esta distribución.
Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medición, por lo que hablaremos de forma estándar y les daremos el símbolo de Z.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es también un caso
particular de probabilidad de
variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el
francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la
curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La
distribución de una variable normal está completamente determinada por dos
parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la
ecuación:
que determina la curva en forma
de campana que tan bien conocemos
Existen dos razones básicas por las cuales
la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística:
·
Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de
situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de
muestras.
·
La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias
reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas,
resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector
público como en el privado.
Propiedad:
No importa cuáles sean los valores de µ y
σ para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre
es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran
probabilidades. Matemáticamente es verdad que:
1. Aproximadamente el 68%
de todos los valores de una población normalmente distribuida
se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.
2. Aproximadamente el 95.5%
de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra
dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.
3. Aproximadamente el 99.7%
de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra
dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.
Relación entre el área bajo la curva de
distribución normal de probabilidad y la distancia a la media medida en desviaciones
estándar.
Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área
bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de la
distribución normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o
menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos
existen tablas estadísticas que indican porciones del área bajo la curva
normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar
(más o menos) a partir de la media.
Afortunadamente también se puede utilizar
una distribución de probabilidad normal estándar para
encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla se determina el
área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente
esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están
definidas en términos de desviaciones estándar.
Para cualquier distribución normal de
probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de
desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del
área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal.
Esto hace que sea posible usar solamente una tabla de la distribución de
probabilidad normal estándar.
El valor de z está derivado de la fórmula:
En la que:
·
x = valor de la variable aleatoria de interés.
·
µ = media de la distribución de la variable aleatoria.
·
σ = desviaciσn estándar de la distribución.
·
z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la
distribución. (El uso de z es solamente un cambio de escala de medición del eje horizontal)
Distribución normal que
ilustra la comparación de los valores de z y las desviaciones estándar.
Calculo de la
distribución de probabilidad Normal por los métodos:
a) Utilización de las tablas de la
distribución Normal.
b) Utilización del Minitab 15.
a) Cálculo de la
distribución de probabilidad Normal utilizando las tablas de distribución de
probabilidad normal estándar
Ejemplo:
Hay un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto-administrado, los
supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio
de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva
completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria
normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa
de entrenamiento?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el
programa de entrenamiento?
Resolviendo para:
Buscar Z = 1.50 en la tabla distribución
de probabilidad normal estándar.
Encontrando una probabilidad de 0.4332.
Por lo tanto, la
probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650
horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332 es decir un
43.32%.
EJERCICIOS
1. Sea Z una variable aleatoria que sigue una distribución N (0 , 1 ). Halla las siguientes
probabilidades:
a. P(Z ≥ 0.32)
b. P(Z ≤ 0)
c. P ( Z > 0.7 )
d. P ( -0.51 ≤ Z ≤ 0.51)
e. P [ Z ≤ - 1.45 ]
f. P [ Z > - 2.63]
2. En una distribución normal N (
5, 2 ) calcula las siguientes
probabilidades:
a. P ( X ≤ 3.25)
b. P [ X > 4.5 ]
c. P [X ≤ 7.2]
d. P [ 3 < X ≤ 6]
3. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro
sanitario se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y
desviación típica 3 minutos. Calcula la probabilidad de que el tiempo de
llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos. ¿Cuánto tiempo se espera que
tarde la ambulancia en llegar? ¿ Para qué valor de t, la probabilidad de que el
tiempo de llegada sea superior a t es del 5%?
4. Un estudio antropológico de una tribu del centro de África ha
constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley normal
de media 60 mm y varianza 9 mm. Si hay 800 adultos en esa tribu, determina
cuántos tienen el dedo corazón:
a) Más largo de 62 mm
b) Más corto de 57
mm.
c) Entre
60 y 66 mm.
5. El peso teórico de la tableta de cierto medicamento es de 234 mg. Si
suponemos que los pesos de la tabletas
tienen una desviación típica de 10 mg por tableta y que se distribuyen
normalmente,
a. ¿Cuál será el tanto por
ciento de tabletas con peso menor o igual a 210 mg?
b. ¿Cuál será el tanto por
ciento de tabletas con peso superior a 240 mg?
6.El tiempo de vida de una bombilla sigue una distribución normal N(180,
15), donde el tiempo se mide en horas. ¿Cuál es la probabilidad de que al
comprar una bombilla, luzca más de 195 horas? ¿ Y menos de 170?
7. Un laboratorio farmacéutico prepara pastillas circulares con un diámetro
medio de 12 mm y una desviación típica de 0,8 mm, pero si la pastilla fabricada
tiene un diámetro inferior a 9.5 mm o superior a 14.7 mm, ésta se rechaza por
no tener la cantidad adecuada de medicamento. Sabemos además que el diámetro
sigue una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que al fabricar una
pastilla, ésta esté en condiciones de ser utilizada?
APLICACIONES:
1. APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR UNA NORMALVeamos a continuación cómo se puede emplear la distribución normal para aproximar una distribución binomial lo que facilita los cálculos en ésta, y por último un ejemplo de ajuste a una normal.
Una distribución binomial B(n,p) se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto np (o nq si q<p, siendo q=1-p). Cuando np y nq superan 5, la aproximación es casi perfecta, como se puede apreciar en la figura.
En estas condiciones:
B(n,p) se aproxima a 
2) Se lanza una moneda 200 veces, calcula la probabilidad de que aparezca cara al menos 100 veces.¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 90 caras?
Podemos emplear la normal para calcular probabilidades en el caso de una distribución binomial, aunque hemos de tener en cuenta que la binomial es discreta y la normal continua, por lo que es necesario introducir un ajuste en el cálculo llamado corrección de Yates. Así:
p(X£x) = p(X'£x+0,5) p(X<x) = p(X'£x-0.5) p(X=x) = p(x-0,5£X'£ x+0,5)
| Ejemplos: |
1) El 35% de una población está afectado por la gripe. Se eligen 30 personas al azar.
Calcula la probabilidad de que:
P(X=10) = P(9,5 £ X' £ 10,5)
P(5<X<12) = P(5,5£X'£11,5)
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2. AJUSTE DE UN CONJUNTO DE DATOS A UNA NORMAL
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Con frecuencia conviene saber si puede suponerse que una serie de datos obtenidos experimentalmente proceden de una población distribuida normalmente.
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Recordemos que en una distribución normal:
Si calculadas la media x y la desviación típica s de nuestros datos, se cumplen aproximadamente estos porcentajes podemos considerar que la población de partida es normal.
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Veamos un ejemplo en el que seguimos un proceso un poco más elaborado:
Ejemplo
La tabla adjunta muestra la altura en cm de 100 estudiantes. ¿Es razonable suponer que estos resultados proceden de una distribución normal?
ES IMPORTANTE RECORDAR:
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Comparamos las probabilidades obtenidas con las frecuencias relativas y evaluamos las diferencias. En este caso, parecen suficientemente pequeñas como para aceptar que los datos provienen efectivamente de una distribución normal.
Fíjate que este último paso es totalmente subjetivo, aunque existen métodos estadísticos con los que tomar esta decisión de forma más precisa.
